Schwere, Elektricität und Magnetismus:088

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 21.


 Wir setzen und verstehen unter eine Function von , die der Gleichung von Laplace Genüge leistet, im Innern des Raumes überall endlich und stetig variabel ist und in der Oberfläche den Werth annimmt. Dann soll


(1)


genommen werden. Die Function genügt also im Innern des Raumes der partiellen Differentialgleichung


(2)


Sie ist im Innern dieses Raumes endlich und stetig variabel, ausser im Punkte , wo sie unendlich wird wie , und sie hat in der Oberfläche von den Werth Null. Es soll später (§. 34) bewiesen werden, dass eine solche Function existirt.

 Der Punkt ist zunächst zum Mittelpunkt einer Kugel vom Radius zu machen, deren Oberfläche ganz im Innern des Raumes liegen soll. Das Innere dieser Kugel ist der Raum . Ihre Oberfläche und die Oberfläche von bilden zusammen die Begrenzung des Raumes .

 Im Innern des Raumes erfüllen und die Bedingungen, unter denen die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen Gültigkeit hat. Wir dürfen also von dieser Gleichung hier Gebrauch machen, wenn das Raum-Integral auf das Innere von und das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche erstreckt wird. Es handelt sich dann um die Frage, welches Resultat für zu Stande kommt.

 Das Raum-Integral



nimmt vermöge der partiellen Differentialgleichung (2) den Werth Null an, man mag es über den Raum oder über den ganzen Raum ausdehnen. Es kömmt also, selbst für , nicht weiter in Betracht.

 Hiernach bleibt in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von dem Raum-Integrale nur noch übrig