Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 51.

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§. 51.
Fortsetzung: Die wirkliche Ladung der Kugel-Oberflächen.


 Die Vertheilung von Elektricitätsmengen über die Unstetigkeitspunkte innerhalb der beiden Kugeln ist nur eine Fiction, mit der wir nichts anderes bezweckt haben, als die Function herzustellen, die im Raume ausserhalb der Kugeln mit der gesuchten Function übereinstimmt. Diese Function rührt her von der beim Gleichgewicht wirklich eingetretenen Elektricitätsvertheilung auf den beiden Kugeloberflächen. Wie nun in vier Bestandtheile zerlegt ist, so kann man auch


(1)


setzen und die Bestimmung treffen, dass im Raume ausserhalb der Kugeln und auf ihren Oberflächen


(2)


sein soll. In das Innere der Kugeln haben wir jede der Functionen von der Oberfläche aus stetig so fortzusetzen, dass überall die partielle Differentialgleichung von Laplace erfüllt ist. Man kann noch bemerken, dass ist im Innern der ersten Kugel, und im Innern der zweiten Kugel, und ferner, dass ist im Innern der zweiten und im Innern der ersten Kugel.

 Wir wollen die Aufgabe so zerlegen, dass zuerst verschieden von Null und genommen wird, und nachher umgekehrt und verschieden von Null. Zuerst also . Dann ist . Es fragt sich, wie gross in einem Punkte der ersten oder der zweiten Kugeloberfläche die Dichtigkeit der Elektricität ist, von welcher die Potentialfunction herrührt. Auf diese Frage gibt die Gleichung (8) des §. 45 Antwort. Bezeichnen wir mit und die gesammte Elektricitätsmenge auf der ersten und resp. zweiten Kugeloberfläche, so findet sich


(3)


(4)


Hier kommen die Derivirten in unendlich kleiner Entfernung von der Oberfläche, aber ausserhalb, in Betracht. Für sie ist |[206]


und


Die Functionen und haben die Eigenschaft, dass sie selbst und ihre Derivirten beim Durchgang durch die Oberfläche der Kugeln sich stetig ändern. D. h. es ist


und


Gibt man nun noch Acht auf die Gleichungen (13) und (14) des vorigen Paragraphen, so erhält man (weil für ):


(5)


(6)


 Es sei ferner , verschieden von Null, also . Wir bezeichnen jetzt mit und die Elektricitätsmenge auf der zweiten und resp. der ersten Kugeloberfläche, von welcher die Potentialfunction herrührt. Zu ihrer Berechnung ist derselbe Weg einzuschlagen, wie vorher zur Berechnung von und . Es findet sich


(7)


(8)


Dieselben Elektricitätsmengen, welche vorher bei der fingirten Vertheilung in den Unstetigkeitspunkten irgend einer Gruppe concentrirt waren, sind also jetzt in Wirklichkeit stetig über die Oberfläche der zugehörigen Kugel ausgebreitet.