Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 35.

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§. 35.
Eine Function , die der Gleichung von Laplace genügt, hat weder Maximum noch Minimum.


 Wir wollen noch zeigen, dass eine endliche und stetige Function in keinem Theile des Raumes, wo sie die Gleichung von Laplace erfüllt, ein Maximum oder ein Minimum haben kann.

 Die Function und die Function genügen beide der Gleichung von Laplace. Nach dem Satze von Green ist also


(1)


|[151]wenn man das Integral über die Oberfläche eines Raumes erstreckt, in welchem und nebst ihren ersten Derivirten endlich und stetig variabel sind. Einen solchen Raum erhalten wir zwischen zwei concentrischen Kugelflächen von den Radien und ,
Fig. 27.
deren Centrum in dem Punkte liegt, von welchem aus gezählt wird. Wir nehmen und lassen schliesslich werden. Die äussere Oberfläche (Fig. 27) gibt als Beitrag zu dem Integral (1)




für , d. h.



Die innere Oberfläche liefert dagegen den Beitrag



für , d. h.



Lässt man in Null übergehen, so nimmt dieser Beitrag den Grenzwerth an



Folglich erhalten wir aus Gleichung (1)



d. h. es kann nicht in allen Punkten der Kugeloberfläche vom Radius dasselbe Vorzeichen haben, und deshalb ist weder ein Maximum noch ein Minimum.