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	Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud

Kreises ist drei Viertel der Fläche des ihm umschriebenen Quadrats,

2. Die Fläche des dem Kreise einbeschriebenen Quadrats ist gleich der halben Fläche des ihm umschriebenen Quadrats. Dieser Satz, gewöhnlich ohne Beweis hingestellt, kann mit Hilfe eines andern im Talmud erwähnten Satzes über das Verhältniss der Kreisperipherie zu seinem Durchmesser, dessen Erörterung weiter unten folgt, bewiesen werden. Um den ersten Theil dieses Satzes zu beweisen, sei in Fig. IV dem Kreise um C dessen Durchmesser = d ein Quadrat ABDE, dessen Seite = S ist, umschrieben, so ist der Durchmesser des Kreises gleich der Seite des Quadrats, also d = S. Die Peripherie des Kreises ist nach dem Talmud das Dreifache seines Durchmessers = 3d, hier also = 3S. Der Flächeninhalt des Kreises ist gleich der Peripherie desselben, multiplicirt mit dem halben Radius $=3d{\frac {\left({\frac {d}{2}}\right)}{2}}=3S{\frac {\left({\frac {S}{2}}\right)}{2}}={\frac {3S^{2}}{4}}.$ ^{[WS 1]} Der Flächeninhalt des Quadrats ist S² gleich. Die Differenz der beiden Flächen ist $S^{2}-{\frac {3S^{2}}{4}}={\frac {S^{2}}{4}},$ d. h. der Flächeninhalt des Kreises ist drei Viertel der umschriebenen Quadratfläche, was zu beweisen war. Genauere Werthe erhält man durch Anwendung der Zahl π. Man erhält Inhalt des Quadrats = S², Inhalt des Kreises ${\frac {\pi \cdot S^{2}}{4}}.$

     Die Differenz der beiden Flächeninhalte ist $=S^{2}-{\frac {\pi S^{2}}{4}}=\left({\frac {4-\pi }{2}}\right)S^{2}={\frac {(4-3,14159\ldots )S^{2}}{4}}=0,21460\ldots S^{2},$ d. h. der Flächeninhalt des Kreises ist grösser als drei Viertel der umschriebenen Quadratfläche. Um den zweiten Theil dieses Satzes, die Flächenverhältnisse der beiden Quadrate betreffend, zu beweisen, beschreibe man um den Kreis der Fig. IV ein Quadrat FGHK, dessen Seite = s sei. Zieht man aus dem Mittelpunkt c des Kreises zwei Radien r nach den Endpunkten der Seite s, so ist in dem entstandenen rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck nach dem pythagoräischen Lehrsatz s² = 2r². Da nun d = 2r,

Anmerkungen (Wikisource)

1. Die Klammern auf den Bruchstrichen sehen wie Binomialkoeffizienten aus. Scheint aber ein Bruch gemeint zu sein. Kommentar: schlechter Druck ist für den fehlenden Bruchstrich verantwortlich -- hinzugefügt

Empfohlene Zitierweise:
Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud. Breslau: , 1878, Seite 12. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zuckermann_Mathematisches_im_Talmud_24.jpg&oldid=- (Version vom 1.8.2018)