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Theil des Mondes, welcher immer gegen die Erde gerichtet sein sollte, auf den andern Brennpunkt der Mondbahn zurückblicken muss (respicere), aus dem in §. 21. angeführten Grunde, und nicht sogleich davon abgezogen und gegen die Erde zurückgeführt werden kann.


ABSCHNITT IV.
Von der Präcession der Aequinoctien.

Fig. 204.

§. 44. Lehnsatz. Es stelle APEp die gleichförmig dichte Erde, C ihren Mittelpunkt, AE den Aequator, P und p ihre Pole vor. Ferner sei Pape die zum Mittelpunkte C und mit dem Radius CP eingeschriebene Kugel, QR stelle eine Ebene vor, welche durch die, vom Mittelpunkte der Sonne nach dem Mittelpunkte der Erde gesogene, gerade Linie perpendikulär geschnitten wird. Endlich wollen wir voraussetzen, dass alle einzelnen Theilchen, welche den ausserhalb der Kugel befindlichen Theil der Erde bilden, das Bestreben haben, sich beiderseits von der Ebene QR mit einer Kraft zu entfernen, die ihrem Abstände von dieser Ebene proportional ist. Alsdann werden zuerst alle Theilchen, welche sich in der Ebene des Aequators AE befinden, und gleichförmig um die Kugel in Form eines Ringes geordnet sind, zum Behuf der Drehung der Erde um ihren Mittelpunkt eine Kraft besitzen, welche sich zu derjenigen Kraft, die alle diese Theilchen auf die kreisförmige Drehung der Erde ausüben würden, wenn sie am weitesten von der Ebene QR auf dem Aequator befindlich wären, wie 1 : 2 verhält. Es wird ferner diese kreisförmige Bewegung um eine Axe erfolgen, welche im Durchschnitt des Aequators und der Ebene QR liegt.

Fig. 205.

Man beschreibe nämlich aus dem Mittelpunkte K mit dem Radius KL den Halbkreis JNL, denke sich den letzteren in unzählige kleine Stücke getheilt und aus jedem der Theile N den Sinus NM auf den Durchmesser JL gefüllt. Alsdann wird die Summe der Quadrate aller Sinusse NM gleich der Summe der Quadrate aller Sinusse KM und jede dieser Summen gleich der halben Summe der Quadrate eben so vieler Halbmesser KL sein[1].


  1. [643] No. 293. S. 455. (Fig. 205.) Die Wahrheit dieser Behauptung würde sich leicht durch Raisonnement darthun lassen; man kann sie aber auch folgendermassen durch Rechnung beweisen. Es werde SNJ in n gleiche Theile getheilt, so dass jeder derselben = π = x sei, alsdann haben wir, für den Radius = 1, die beiden Summen: [644]
    S = sin² π + sin² π + ... + sin² π
    S' = cos² π + cos² π + ... + cos² π.

    Durch Einführung der bekannten Exponential-Functionen wird

    ,
    .

    Hier ist, wie bekannt, i = , ferner folgt aus x = π, 2nx = 2π, (n — 1)2x = 2π — 2x, cos(n — 1)2x = cos 2x, cos 2nx = 1; mithin S = ¼ + ½(n — 1) = ½n. Was die Summe S' betrifft, so wird zunächst

    + ½ n = ½n, weil cos 2nx = 1 und cos (n + 1)2x = cos (2π + 2x) = cos 2x.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 455. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/463&oldid=- (Version vom 1.8.2018)