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vom Pol Qq bis zum Centrum Cc und von diesem bis zum Aequator Aa mit Wasser angefüllt ist.

Fig. 188.

Alsdann muss das Gewicht des Wassers im Zweige ACca sich zu dem Gewicht des im Zweige QCcq vorhandenen Wassers verhalten, wie 289 : 288, und zwar desshalb, weil die aus der Kreisbewegung entspringende Centrifugalkraft einen Theil von 289 trägt und aufhebt, und daher die 288 Theile Wassers im Schenkel ACca die 289 Theile im anderen Schenkel tragen.

Nach der Methode (von §. 137., Zusatz 2. des ersten Buches) finde ich, dass, wenn die Erde aus einer homogenen Materie zusammengesetzt, wenn sie von aller Bewegung frei wäre und wenn ihre Axe PQ sich zum Durchmesser AB wie 100 : 101 verhielte; alsdann die Schwere im Orte Q sich zur Schwere in demselben Orte, aber auf einer Kugel zum Mittelpunkt C und Radius CP oder CQ verhalten würde, wie 126 : 125.[1]

Durch dasselbe Raisonnement findet man, dass die Schwere im Orte A eines durch Umdrehung der Ellipse APBQ um die Axe AB beschriebenen Elipsoïds sich zur Schwere in demselben Orte A auf einer, um C als Mittelpunkt und mit CA als Radius beschriebenen Kugel verhalte, wie 125 : 126.[2]

Ferner ist die Schwere im Orte A auf der Erde die mittlere Proportionale zwischen der Schwerkraft auf diesem Sphäroïd und der auf dieser Kugel stattfindenden. Die letztere wurde nämlich, wenn man ihren Durchmesser im Verhältniss 101 : 100 verminderte, in die Figur der Erde übergehen, und eben so wurde diese Figur, durch in gleichem Verhältniss ausgeführte Verminderung des auf beide Durchmesser AB und PQ perpendiculären Durchmessers in das benannte Sphäroïd übergehen. In dem einen und andern Falle würde die Schwere in A sehr nahe in demselben Verhältniss kleiner werden.[3]

Es verhält sich daher die Schwere in A auf der, zum Radius CA und Mittelpunkt C gehörigen Kugel, zur Schwere in demselben Punkte auf der Erde, wie 126 : 125,5, und die Schwere in Q auf der zum Radius CQ gehörigen Kugel, zur Schwere im Punkt A auf der nun Radius CA gehörigen Kugel, wie ihre Durchmesser (nach §. 114. des ersten Buches), d. h. wie 100 : 101.

Verbindet man die drei Verhältnisse

126 : 125,0
126 : 125,5
100 : 101,0

mit einander, so erhält man das Verhältniss der Schwere auf der Erde


  1. [625]

    Fig. 256.

    No. 224. S. 402. Nach der in der Bemerkung 74 zu S. 217, [626] ausgeführten Rechnung findet sich die Anziehung des Punktes Q gegen das Sphäroïd durch das Integral dx, wo QT = x, QR = z, QC = PC = b, TR = y ist. Es ist nun im vorliegenden Falle z² = x² + y² = x² + (2bx – x²) = ,
    mithin dx
    [Arc. sin. + Arc. sin. 1]

    oder

    1.      Arc. sin. .

    Für die entsprechende Kugel ist z = und so dx

    = 2b – · ⅔ · (2b)3/2

    oder 2.      dx = ⅔b, und nach Gleichung 1. und 2. das gesuchte Verhältniss

    3.      : ⅔. Nach der Voraussetzung ist a : b = 101 : 100, also ; ; Arc. sin. = 16° 8′ 18,″9 = 58098,″9. Führt man die numerische Rechnung weiter, so wird = 101,50251; · Arc. sin. = 100,83038, das Verhältniss 3.     0,67213 : ⅔ = 201639 : 200000 = 126,02 : 125.

  2. [626] No. 225. S. 402. In diesem Falle geht nach der obigen Figur, indem wir AP = x', VW = y', AW = z' setzen, das Integral über in
    [627]
    oder 4.     

    Die log. sind hier hyperbolische, und für die entsprechende Kugel wird hier 5.      = ⅔a; also nach Gl. 4. und 5. das gesuchte Verhältniss

    6.      : ⅔.

    Da ferner = 99,502488, log = 0,2826078, so wird das Verhältniss 6.     [– 99,502488 + 100,163650] : ⅔ = 198348 : 200000 = 125 : 126,02.

  3. [627] No. 226. S. 402. Setzt man die durch die Kugel, die Erde und das Sphäroïd auf A ausgeübte Schwerkraft respective gleich K, E, S; so hat man K : E = 101 : 100, E : S = 101 : 100, also K : E = E : S, oder E = = 125,5…
Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 402. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/410&oldid=- (Version vom 1.8.2018)