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und HJ aber mit GH die Winkel FGB = JHB = 135° bilden. Der Körper, welcher durch Umdrehung der Figur ADFGHJE um dieselbe Axe AB entsteht, wird alsdann einen geringeren Widerstand erleiden, als der frühere Körper, wenn nur beide sich in der Richtung der Axe AB, und zwar der Theil B voran, bewegen. Ich glaube, dass dieser Satz für die Construction von Schiffen nicht ohne Nutzen sein wird.

Ist die Figur DNFB von der Art, dass, wenn man von dem beliebigen Punkte N auf die Axe AB das Perpendikel NM füllt und von dem gegebenen Punkte G die Linie GR der Tangente in N parallel zieht, welche die verlängerte Axe in R schneidet, alsdann MN : GR = GR³ : 4BR · GB² wird; so wird der Körper, welcher durch Umdrehung dieser Figur um die Axe AB entsteht, bei seiner Bewegung von A gegen B in einem lockern und elastischen Mittel einen geringeren Widerstand erleiden, als jeder andere beliebige, bei derselben Länge und Breite beschriebene, kreisförmige Körper.[1]

§. 47. Aufgabe. Man sucht den Widerstand, welchen eine Kugel bei gleichförmiger Bewegung in einem lockeren Mittel erleidet, welches aus gleichen und, in gleichen gegenseitigen Abständen befindlichen, Theilchen besteht.

1. Fall. Man denke sich, dass ein, mit demselben Durchmesser und zu derselben Höhe beschriebener, Cylinder sich mit derselben Geschwindigkeit und in demselben Mittel nach der Richtung seiner Axe bewege. Setzen wir voraus, dass die Theilchen des Mittels, auf welche die Kugel oder der Cylinder treffen, mit der grössten Kraft zurückspringen. Der Widerstand der Kugel ist (nach §. 45.) halb so gross, als der Widerstand des Cylinders; ferner ist die Kugel = ⅔ Cylinder; der Cylinder wird, indem er perpendikulär auf dieselben Theilchen trifft und sie sehr stark zurückwirft, ihnen seine doppelte Bewegung mittheilen: daher wird der Cylinder in derselben Zeit, in welcher er die Hälfte seiner Axe gleichförmig beschreibt, den Theilchen eine Bewegung mittheilen, welche sich zur ganzen Bewegung des Cylinders verhält, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit des Cylinders. Die Kugel wird in der Zeit, in welcher sie ihren ganzen Durchmesser gleichförmig zurücklegt, den Theilchen dieselbe Bewegung mittheilen. In der Zeit, in welcher sie ⅔ ihres Durchmessers zurücklegt, wird sie den Theilchen eine Bewegung mittheilen, welche sich zur ganzen Bewegung der Kugel verhält, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel. Die Kugel erleidet daher einen Widerstand, welcher sich zu derjenigen Kraft, wodurch ihre ganze Bewegung in der Zeit, während sie ⅔ ihres Durchmessers gleichförmig zurücklegt, genommen oder erzeugt werden könnte, verhält wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel.

2. Fall. Setzen wir voraus, dass die Theilchen, welche die Kugel oder den Cylinder treffen, nicht zurückgeworfen werden und der Cylinder, indem er perpendikulär auf die Theilchen trifft, ihnen seine einfache


  1. [610] No. 171. S. 321 Stellt GO BR den Widerstand dar, welchen das Mittel gegen GH ausüben würde, so drückt, wenn man OK auf GR und KL auf OG perpendiculär zieht, OL den gegen GB ausgeübten Widerstand des Mittels aus. Da nun GR parallel der Tangente in N ist, so wird MN · LG den MN entsprechenden Widerstand darstellen und es ist Bedingung, dass derselbe ein Minimum werde, oder da MN gegeben ist, muss
    1.   LO = Minimum

    werden. Nun ist

    2.   LO : OK = OK : OG

    also

    LO² : OK² = OK² : OG², LO² : LO · OG = OK² : OG²
    3.   LO : OG = OK² : OG². Da aber Δ GOK ∼ GBR, so ist
    OK : OG = GB : GR

    also

    4.   LO : OG = GB² : GR².

    Die Linien OG und GB sind gegeben, daher muss, wenn LO ein Minimum sein soll, GR² ein Maximum, oder weil

    5.   GR² = GB² + BR²

    BR ein Maximum werden. Bezeichnet nun a eine später zu bestimmende Constante, so muss MN · LO — a · BR ein Minimum werden. Hieraus ergiebt sich durch Differentiation, weil MN und a constant sind,

    6.   , aus 4. oder OL · GR² = OG · GB², weil OG und GB constant sind,
    7.   

    und aus 5.

    8.   .

    Multiplicirt man nun die drei Gleichungen 6., 7. und 8. in einander, so erhält man

    9.   a · GR² = — 2 MN · LO · BR.

    Denkt man sich nun N nach G verlegt, so wird nach dem Schluss der vorhergehenden Bemerkung GR² = GP² = GB² + BP² = 2 · GB²; MN = GB, BR = BP = BG, LO = ½GO, also nach 9. 2a · GB² = — GB² · GO oder a = — ½GO und es geht Gl. 9. mittelst dieses Werthes von a über in

    10.   GO · GR² = 4MN · LO · BR.

    Da aber nach 4. GO = , so wird aus 10. GR4 = 4MN · BR · GB² oder

    11. MN : GR = GR³ : 4 · BR · GB².
Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 324. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/332&oldid=- (Version vom 1.8.2018)