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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

bewirkt, dass das Projectil sich auf dieser Curve bewege. Man halbire den Durchmesser PQ in A, und setze

AQ = r AC = x CH = y CD = ξ;

alsdann wird

DJ² = AQ² — AD² = r² — x² — 2ξ — ξ² = y² — 2xξ — ξ².

Zieht man die Wurzel nach unserer Methode^[1] aus, so ergiebt sich

$\scriptstyle DJ=y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {\xi ^{2}}{2y}}-{\frac {x^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {x\xi ^{3}}{2y^{3}}}-{\frac {y^{3}\xi ^{3}}{2y^{5}}}-$ etc.

oder, indem man

x² + y² = r² setzt, $\scriptstyle DJ=y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {r^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {xr^{2}\xi ^{3}}{2y^{5}}}-$ etc.

In derartigen Reihen unterscheide ich die verschiedenen Glieder folgendermaassen von einander. Das erste Glied nenne ich dasjenige, in welchem die unendlich kleine Grösse ξ gar nicht vorkommt; das zweite dasjenige, in welchem diese Grösse sich in der ersten Potenz befindet; auf dieselbe Weise wird das dritte Glied die zweite, das vierte die dritte Potenz enthalten u. s. w. f. in’s Unendliche. Ferner bezeichnet das erste Glied, welches hier = y ist, stets die Ordinate CH, die im Anfangspunkte C der unbestimmten Grösse ξ errichtet ist. Das zweite Glied, hier = $\scriptstyle {\frac {x\xi }{y}}$, bezeichnet den Unterschied zwischen CH und DN, d. h. die kleine Linie MN, welche durch Vollendung des Parallelogrammes HCDM abgeschnitten wird. Dieses Glied bestimmt also immer die Lage der Tangente HN, wie in diesem Falle, indem man setzt

MN : HM = $\scriptstyle {\frac {x\xi }{y}}$ : ξ = x : y.

Das dritte Glied, welches hier = $\scriptstyle {\frac {r^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}$ ist, bezeichnet die kleine Linie JN, die zwischen der Tangente und der Curve liegt und so den Berührungswinkel JHN oder die Krümmung bestimmt, welche die Curve in H hat. Ist die kleine Linie JN von endlicher Grösse, so wird sie durch das dritte und alle in’s Unendliche folgenden Glieder bestimmt; wird aber diese Linie in’s Unendliche vermindert, so werden die folgenden Glieder unendlich kleiner als das dritte und können daher vernachlässigt werden. Das vierte Glied, hier = $\scriptstyle {\frac {xr^{2}\xi ^{3}}{2y^{5}}}$ stellt die Aenderung der Krümmung, das fünfte die Aenderung der Aenderung dar u. s. w. f. Hieraus geht beiläufig der nicht zu verachtende Gebrauch hervor, den man von diesen Reihen bei der Auflösung von Aufgaben machen kann, welche von den Tangenten und der Krümmung der Curve abhängen.

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1. No. 115. S. 255. Die hier im Text erwähnte Methode besteht offenbar in der Anwendung des binomischen Lehrsatzes. Es wird also $\scriptstyle {\sqrt {y^{2}-2x\xi -\xi ^{2}}}=\left(y^{2}-2x\xi -\xi ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ $\scriptstyle =y-{\frac {1}{2}}{\frac {2x\xi }{y}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\xi ^{2}}{y}}+{\frac {{\frac {1}{2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)}{1\cdot 2}}{\frac {1}{y^{3}}}\left(2x\xi +\xi ^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{16}}\cdot {\frac {1}{y^{5}}}\left(2x\xi +\xi ^{2}\right)^{3}\dots$ $\scriptstyle =y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\xi ^{2}}{y}}-{\frac {x^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {x\xi ^{3}}{2y^{3}}}-{\frac {\xi ^{4}}{8y^{3}}}-{\frac {x^{3}\xi ^{3}}{2y^{5}}}\dots$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 255. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/263&oldid=- (Version vom 1.8.2018)