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oder, wenn man

TX AP zieht,
TDV : PDQ = DX² : DA² = TX² : AP²,

d. h.

2.   TDV : PDQ = DX² — TX² : DA² — AP².

Nach den Gesetzen der Hyperbel ist

DX² — TX² = AD² [1]

und nach der Voraussetzung

AP² = AC · AK = AD · AK

mithin

TDV : PDQ = AD² : AD (AD - AK)

und

3.   TDV : PDQ = AC : CK.

Hiernach wird TDV = ,

d. h. weil PDQ = ½PQ · AD und AC = AD constant ist,

TDV proportional .

TDV ist daher proportional direct dem Increment der Geschwindigkeit und indirect der, dieses Increment erzeugenden, Kraft, also dem Zeittheilchen, welches dem Increment PQ der Geschwindigkeit entspricht.

Durch Zusammensetzung ergiebt sich, dass die Summe aller Zeittheilchen, in denen sämmtliche Theile PQ der Geschwindigkeit AP erzeugt werden, sich wie die Summe aller Theile des Sectors ADT verhalt; demnach ist die ganze Zeit dem ganzen Sector proportional.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Macht man

AB = ¼AC,

so verhält sich der Baum, welchen der Körper in einer beliebigen Zeit fallend beschreibt, zu demjenigen Räume, welchen er mit der grössten Geschwindigkeit AC in derselben Zeit gleichförmig zurücklegen kann, wie die Fläche ABNK, wodurch der beim Falle beschriebene Weg ausgedrückt wird, zur Fläche ADT, welche die Zeit bezeichnet.

Da nämlich

AC : AP = AP : AK

so wird (nach §. 10, Zusatz 1.)

KL : PQ = 2 · AK : AP = 2AP : AC[2]

oder

KL : ½PQ = AP : ¼AC
= AP : AB

ferner

KN : AC = AB : CK,

also weil

AC = AD
LKNO : DPQ = AP : CK,

Es war in 3.

DPQ : DTV = CK : AC,

also

LKNO : DTV = AP : AC.

Es verhält sich hiernach LKNO zu DTV, wie die Geschwindigkeit des fallenden Körpers zur grössten Geschwindigkeit, welche derselbe beim Falle erlangen kann. Da nun die Momente LKNO und DTV sich wie die Geschwindigkeiten verhalten, so verhalten sich auch alle zugleich erzeugten Theile jener Flächen wie die zugleich beschriebenen Wege und endlich die ganzen, von Anfang an erzeugten Flächen ABKN und


  1. [598] No. 108. S. 260. In Bezug auf die Hyperbel ATZ ist AD = a, die halbe Axe = der sogenannten halben Zwergaxe AC, AX = x, TX = y, und es geht die allgemeine Gleichung der Hyperbel y² = (x² — a²) in diesem Falle über in y² = x² — a² oder x² — y² = a².
  2. [599] No. 109. S. 250. Aus AP² = AC · AK, folgt, weil AC constant ist, 2AP · d · AP = AC · d · AK   d. h. 2AP · PQ = AC · KL oder KL : PQ = 2AP : AC.
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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 250. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/258&oldid=- (Version vom 1.8.2018)