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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

einführt. Da ${\frac {\alpha }{r}}\,$ nahe gleich dem doppelten Quadrat der Planetengeschwindigkeit (Einheit die Lichtgeschwindigkeit) ist, so ist die Klammer selbst für Merkur nur um Größen der Ordnung $10^{-12}\,$ von 1 verschieden. Es ist also praktisch $R\,$ mit $r\,$ identisch und Hrn. Einsteins Annäherung für die entferntesten Bedürfnisse der Praxis ausreichend.

Zum Schluß soll noch die strenge Form des dritten Keplerschen Gesetzes für Kreisbahnen abgeleitet werden. Für die Winkelgeschwindigkeit $n={\frac {d\phi }{dt}}\,$ gilt nach (16) und (17), wenn man $x=1/R\,$ einführt,

$n=cx^{2}(1-\alpha x).\,$

Für Kreisbahnen muß sowohl ${\frac {dx}{d\phi }}\,$ als ${\frac {d^{2}x}{d\phi ^{2}}}\,$ null sein. Das gibt nach (18)

$0={\frac {1-h}{c^{2}}}+{\frac {h\alpha }{c^{2}}}x-x^{2}+\alpha x^{3},\quad 0={\frac {h\alpha }{c^{2}}}-2x+3\alpha x^{2}.\,$

Die Elimination von $h\,$ aus diesen beiden Gleichungen liefert

$\alpha =2c^{2}x(1-\alpha x)^{2}.\,$

Damit folgt

$n^{2}={\frac {\alpha }{2}}x^{3}={\frac {\alpha }{2R^{3}}}={\frac {\alpha }{2\left(r^{3}+\alpha ^{3}\right)}}.\,$

Bis zur Sonnenoberfläche hin ist die Abweichung dieser Formel vom dritten Keplerschen Gesetz völlig unmerklich. Für einen idealen Massenpunkt folgt aber, daß die Winkelgeschwindigkeit nicht, wie beim Newtonschen Gesetz, unbegrenzt wächst bei Verkleinerung des Bahnradius, sondern sich einer bestimmten Grenze

$n_{0}={\frac {1}{\alpha {\sqrt {2}}}}\,$

nähert. (Für einen Punkt von Sonnenmasse wird die Grenzfrequenz rund $10^{4}\,$ in der Sekunde.) Wenn für die Molekularkräfte ähnliche Gesetze herrschen, könnte dort dieser Umstand von Interesse sein.

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. , Berlin 1916, Seite 196. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:K._Schwarzschild_-_%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie_(1916).pdf/8&oldid=- (Version vom 1.8.2018)