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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

Die Gleichung (b) ist, wie man leicht nachrechnet, mit den gefundenen Ausdrücken von $f_{1}$ und $f_{2}$ von selbst erfüllt.

Damit sind alle Forderungen befriedigt bis auf die Stetigkeitsbedingung. Es wird $f_{1}$ unstetig, wenn

$1=\alpha (3x_{1}+\rho )^{-{\frac {1}{3}}},\quad 3x_{1}=\alpha ^{3}-\rho$

ist. Damit diese Unstetigkeit mit dem Nullpunkt zusammenfällt, muß

$\rho =\alpha ^{3}$

(13)

sein. Die Stetigkeitsbedingung verknüpft also in dieser Weise die beiden Integrationskonstanten ρ und α.

Die vollständige Lösung unsrer Aufgabe lautet jetzt so:

$f_{1}={\frac {1}{R^{4}}}{\frac {1}{1-\alpha /R}},\quad f_{2}=f_{3}=R^{2},\quad f_{4}=1-\alpha /R,$

wobei die Hilfsgröße

$R=(3x_{1}+\rho )^{\frac {1}{3}}=\left(r^{3}+\alpha ^{3}\right)^{\frac {1}{3}}$

eingeführt ist.

Setzt man diese Werte der Funktionen f im Ausdruck (9) des Linienelements ein und kehrt zugleich zu gewöhnlichen Polarkoordinaten zurück, so ergibt sich das Linienelement, welches die strenge Lösung des Einsteinschen Problems bildet:

$ds^{2}=(1-\alpha /R)dt^{2}-{\frac {dR^{2}}{1-\alpha /R}}-R^{2}\left(d\vartheta ^{2}+\sin ^{2}\vartheta d\phi ^{2}\right),\ R=\left(r^{3}+\alpha ^{3}\right)^{\frac {1}{3}}.$

(14)

Dasselbe enthält die eine Konstante α, welche von der Größe der im Nullpunkt befindlichen Masse abhängt.

§ 5. Die Eindeutigkeit der Lösung hat sich durch die vorstehende Rechnung von selbst ergeben. Daß es schwer wäre, aus einem Annäherungsverfahren nach Hrn. Einsteins Art die Eindeutigkeit zu erkennen, sieht man an folgendem: Es hatte sich oben, bevor noch die Stetigkeitsbedingung herangezogen war, ergeben:

$f_{1}={\frac {(3x_{1}+\rho )^{-{\frac {4}{3}}}}{1-\alpha (3x_{1}+\rho )^{-{\frac {1}{3}}}}}={\frac {\left(r^{3}+\rho \right)^{-{\frac {4}{3}}}}{1-\alpha \left(r^{3}+\rho \right)^{-{\frac {1}{3}}}}}.$

Wenn α und ρ klein sind, so liefert die Reihenentwicklung bis auf Größen zweiter Ordnung:

$f_{1}={\frac {1}{r^{4}}}\left[1+{\frac {\alpha }{r}}-4/3{\frac {\rho }{r^{3}}}\right].$

Dieser Ausdruck, zusammen mit den entsprechend entwickelten von $f_{2},\ f_{3},\ f_{4}$ befriedigt innerhalb derselben Genauigkeit alle Forderungen des Problems. Die Stetigkeitsforderung liefert innerhalb dieser Annäherung

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. , Berlin 1916, Seite 194. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:K._Schwarzschild_-_%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie_(1916).pdf/6&oldid=- (Version vom 30.11.2016)