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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

Die angedeuteten Entwickelungen lassen sich, ohne daß eine weitere Rechnung nötig wäre, auf den Fall zweier oder mehr gesuchter Funktionen, sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehrfachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall des über ein gegebenes Gebiet $\omega$ zu erstreckenden Doppelintegrals

$J=\int F(z_{x},z_{y},z;\ x,y)\,d\omega \quad {\Bigg [}z_{x}={\frac {\partial z}{\partial x}},\,z_{y}={\frac {\partial z}{\partial y}}{\Bigg ]}\,$

das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten Variation

$\delta J=0\,$

für die gesuchte Funktion $z$ von $x$, $y$ die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

(I)	${\frac {dF_{z_{x}}}{dx}}+{\frac {dF_{y}}{dy}}-F_{x}=0.\quad {\Bigg [}F_{z_{x}}={\frac {\partial F}{\partial z_{x}}},\,F_{z_{y}}={\frac {\partial F}{\partial z_{y}}},F_{z}={\frac {\partial F}{\partial z}}{\Bigg ]}.\,$

Andererseits betrachten wir das Integral

$J^{*}=\int {\big \{}F+(z_{x}-p)F_{p}+(z_{y}-q)F_{q}{\big \}}\,d\omega \,$ ${\Bigg [}F=F(p,q,z;x,y),\,F_{p}={\frac {\partial F(p,q,z;x,y)}{\partial p}},\,F_{z}={\frac {\partial F(p,q,z;x,y)}{\partial q}}{\Bigg ]}\,$

und fragen, wie darin $p$ und $q$ als Funktionen von $x$, $y$, $z$ zu nehmen sind, damit der Wert dieses Integrals von der Wahl der durch die gegebene geschlossene Raumcurve gelegten Fläche d. h. von der Wahl der Funktion $z$ der Variabeln $x$, $y$ unabhängig wird. Das Integral $J^{*}$ hat die Form

$J^{*}=\int {\big \{}Az_{x}+Bz_{y}-C{\big \}}\,d\omega \,$

und das Verschwinden der ersten Variation

$\delta J^{*}=0\,$

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

${\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=0,\,$

d.h. wir erhalten für die Funktionen $p$ und $q$ der drei Variabeln $x$, $y$, $z$ die Differentialgleichung erster Ordnung

(I*)	${\frac {\partial F_{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{q}}{\partial y}}+{\frac {\partial (pF_{p}+qF_{q}-F)}{\partial z}}=0.$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 295. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/44&oldid=- (Version vom 6.11.2018)