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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

der Gestalt

(1)	$y_{xx}\,F_{y_{x}\,y_{x}}+y_{x}\,F_{y_{x}\,y}+F_{y_{x}\,x}-F_{y}=0$

bez.

(1*)	$(p_{x}+pp_{x})\,F_{pp}+p\,F_{py}+F_{px}-F_{y}=0,$

wo die unteren Indices in leichtverständlicher Schreibweise die partiellen Ableitungen nach $x$, $y$, $p$, $y_{x}$ bedeuten. Hieraus leuchtet die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein.

Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegender Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrales $J^{*}$ vom Integrationswege folgt nunmehr

(3)	$\int _{a}^{b}{\big \{}F(p)+(y_{x}-p)F_{p}(p){\big \}}\,dx=\int _{a}^{b}F({\overline {y}}_{x})\,dx,\,$

wenn wir das Integral linker Hand auf irgend einem Wege $y$ und das Integral rechter Hand auf einer Integralcurve ${\overline {y}}$ der Differentialgleichung

${\overline {y}}_{x}=p(x,{\overline {y}})\,$

genommen denken. Mit Hülfe der Gleichung (3) gelangen wir zu der Weierstrass’schen Formel

(4)	$\int _{a}^{b}F(y_{x})\,dx-\int _{a}^{b}F({\overline {y}}_{x})\,dx=\int _{a}^{b}E(y_{x},p)dx\,$

wo $E$ den von den 4 Argumenten $y_{x}$, $p$, $y$, $x$ abhängigen Weierstrass’schen Ausdruck

$E(y_{x},p)=F(y_{x})-F(p)-(y_{x}-p)\,F_{p}(p)\,$

bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede stehende Integralcurve ${\overline {y}}$ in der $xy$-Ebene auf eindeutige und stetige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion $p(x,y)$ zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwickelungen unmittelbar – ohne Heranziehung der zweiten Variation sondern allein durch Anwendung des Polarenprocesses auf die Differentialgleichung (1) – zur Aufstellung der Jacobi’schen Bedingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Jacobi’sche Bedingung im Verein mit der Weierstrass’schen Bedingung $E>0$ für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 294. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/43&oldid=- (Version vom 1.8.2018)