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David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte und der im wesentlichen aequivalente Satz von Euklid über die Seiten eines Dreiecks nicht nur in der Zahlentheorie, sondern auch in der Theorie der Flächen und in der Variationsrechnung spielt, und da ich glaube, daß die eingehendere Untersuchung der Bedingungen für die Gültigkeit dieses Satzes ebenso auf den Begriff der Entfernung wie auch noch auf andere elementaren Begriffe z. B. den Begriff der Ebene und die Möglichkeit ihrer Definition mittelst des Begriffes der Geraden ein neues Licht werfen wird, so erscheint mir die Aufstellung und systematische Behandlung der hier möglichen Geometrieen wünschenswert.

Im Fall der Ebene und unter Zugrundelegung des Stetigkeitsaxioms führt das genannte Problem auf die von Darboux[1] behandelte Frage, alle Variationsprobleme in der Ebene zu finden, für welche sämtliche Geraden der Ebene die Lösungen sind – eine Fragestellung, die mir weitgehender Verallgemeinerungen[2] fähig und würdig erscheint.


5. Lie’s Begriff der continuirlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzirbarkeit der die Gruppe definirenden Functionen.

Lie hat bekanntlich mit Hinzuziehung des Begriffs der continuirlichen Transformationsgruppe ein System von Axiomen für die Geometrie aufgestellt und auf Grund seiner Theorie der Transformationsgruppen bewiesen, daß dieses System von Axiomen zum Aufbau der Geometrie hinreicht. Da Lie jedoch bei Begründung seiner Theorie stets annimmt, daß die die Gruppe definirenden Functionen differenzirt werden können, so bleibt in den Lieschen Entwickelungen unerörtert, ob die Annahme der Differenzirbarkeit bei der Frage nach den Axiomen der Geometrie thatsächlich unvermeidlich ist oder nicht vielmehr als eine Folge des Gruppenbegriffs und der übrigen geometrischen Axiome erscheint. Diese Ueberlegung, sowie auch gewisse Probleme hinsichtlich der arithmetischen Axiome legen uns die allgemeinere Frage nahe, in wieweit der Liesche Begriff der continuirlichen Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzirbarkeit der Functionen unserer Untersuchung zugänglich ist.

Bekanntlich definirt Lie die endliche continuirliche Transformationsgruppe als ein System von Transformationen

  1. ↑ Leçons sur la théorie générale des surfaces. Bd. 3, Paris 1894, S. 54[WS 1].
  2. ↑ Vgl. die interessanten Untersuchungen von A. Hirsch, Mathematische Annalen, Bd. 49[WS 2] und 50[WS 3].

Anmerkungen (Wikisource)

  1. ↑ Gaston Darboux: Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, Paris (1894), Seite 54 Internet Archive
  2. ↑ Arthur Hirsch: Ueber eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgleichungen der Variationsrechnung, in: Mathematische Annalen. Band 49 (1897), Seite 49–72 Quellen
  3. ↑ Arthur Hirsch: Die Existenzbedingungen des verallgemeinerten kinetischen Potentials, in: Mathematische Annalen. Band 50 (1898), Seite 429–441 Quellen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 269. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/18&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
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