und nach Integration[1] 4 π ∫ p 2 d p {\displaystyle 4\pi \int p^{2}dp} über die Positronenenergie p 0 {\displaystyle p_{0}} :
[435] Ebenso verläuft die Rechnung für den Spezialfall (8,2 b): Indem man im Zähler (5,15) für parallele Polarisationen (8,8, γ {\displaystyle \gamma } ) die Spur bildet, erhält man:
{ Z μ = S 1 + 2 p y 2 [ λ μ 3 p 0 1 p 0 2 − λ μ 2 p 0 3 p 0 4 − λ μ 2 λ μ 3 p 0 1 p 0 4 + 1 p 0 2 p 0 3 ] − 1 p 0 1 p 0 2 p 0 3 p 0 4 [ S 2 + 8 p y 4 − 2 p y 2 [ ( p 1 p 2 ) + ( p 3 p 4 ) + ( p 2 p 3 ) + ( p 1 p 4 ) + 4 ( m c ) 4 ] ] ( S 1 , S 2 vgl. S. 432). {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Z_{\mu }=S_{1}+2p_{y}^{2}\left[{\frac {\lambda _{\mu }^{3}}{p_{0}^{1}p_{0}^{2}}}-{\frac {\lambda _{\mu }^{2}}{p_{0}^{3}p_{0}^{4}}}-{\frac {\lambda _{\mu }^{2}\lambda _{\mu }^{3}}{p_{0}^{1}p_{0}^{4}}}+{\frac {1}{p_{0}^{2}p_{0}^{3}}}\right]-{\frac {1}{p_{0}^{1}p_{0}^{2}p_{0}^{3}p_{0}^{4}}}&\left[S_{2}+8p_{y}^{4}-2p_{y}^{2}\left[\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{2}\right)+\left({\mathfrak {p}}^{3}{\mathfrak {p}}^{4}\right)+\left({\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}^{3}\right)+\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{4}\right)+4\left(mc\right)^{4}\right]\right]\\&(S_{1},S_{2}\ {\text{vgl. S. 432).}}\end{aligned}}\right.}
Und dies wird, wenn man zur weiteren Spezialisierung auf parallele Impulse (8,8, δ {\displaystyle \delta } ) einsetzt und nach Lichtquantenenergien g / m c {\displaystyle g/mc} , entwickelt:
Vgl. Gl. (8,15).
Multiplikation dieser Zähler (8,15) mit den entsprechenden Nennern (8,9), Addition über die 6 Reihenfolgen (8,8) und die 6 Fälle μ {\displaystyle \mu } , Multiplikation mit 4 und Mittelung über die Winkel von p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} ergibt im Glied 4. Ordnung der Entwicklung nach Lichtfrequenzen:
![{\displaystyle \left\lbrace \sum _{\mathrm {Perm} }\sum _{\mu }{\frac {{\bar {Z}}_{\mu }}{N_{\mu }}}={\frac {4|g|4}{p_{0}^{7}}}\cdot \left[-63+1002{\frac {p^{2}}{3p_{0}^{2}}}-7734{\frac {p^{4}}{3\cdot 5p_{0}^{4}}}-315{\frac {p^{4}}{5p_{0}^{4}}}+22800{\frac {p^{6}}{2\cdot 5\cdot 7p_{0}^{6}}}+7524{\frac {p^{6}}{5\cdot 7p_{0}^{6}}}-47606{\frac {p^{8}}{5\cdot 7\cdot 9p_{0}^{8}}}\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a629282b3f85fdedcc02decdc758f6733cf96c92)
![{\displaystyle \left\lbrace C\int d{\mathfrak {p}}\sum _{\mathrm {Perm} }\sum _{\mu }{\frac {Z_{\mu }}{N_{\mu }}}=C\cdot 4\pi \cdot 4\cdot 2\left({\frac {g}{mc}}\right)^{4}\cdot \left[-{\frac {63}{3\cdot 5}}+{\frac {1002}{3\cdot 5\cdot 7}}-{\frac {7734}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}-{\frac {315}{5\cdot 7\cdot 9}}+{\frac {22800}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+{\frac {7524}{5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}-{\frac {47606}{5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13}}\right]\cdot \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9f783b4de63cfec19e76aa385b8a6862b82465)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Z_{\mu }=S_{1}+2p_{y}^{2}\left[{\frac {\lambda _{\mu }^{3}}{p_{0}^{1}p_{0}^{2}}}-{\frac {\lambda _{\mu }^{2}}{p_{0}^{3}p_{0}^{4}}}-{\frac {\lambda _{\mu }^{2}\lambda _{\mu }^{3}}{p_{0}^{1}p_{0}^{4}}}+{\frac {1}{p_{0}^{2}p_{0}^{3}}}\right]-{\frac {1}{p_{0}^{1}p_{0}^{2}p_{0}^{3}p_{0}^{4}}}&\left[S_{2}+8p_{y}^{4}-2p_{y}^{2}\left[\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{2}\right)+\left({\mathfrak {p}}^{3}{\mathfrak {p}}^{4}\right)+\left({\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}^{3}\right)+\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{4}\right)+4\left(mc\right)^{4}\right]\right]\\&(S_{1},S_{2}\ {\text{vgl. S. 432).}}\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8eb5af326ec21102824d04845482e8d402cd48a)
![{\displaystyle \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\sum _{\mathrm {Perm} }\sum _{\mu }{\frac {Z_{\mu }}{N_{\mu }}}=4{\frac {|g|^{4}}{p_{0}^{7}}}\left[{\frac {41}{2}}-917{\frac {p^{2}}{3p_{0}^{2}}}+{\frac {2379}{2}}{\frac {p^{4}}{5p_{0}^{4}}}+8400{\frac {p^{4}}{3\cdot 5\cdot p_{0}^{4}}}-26316{\frac {p^{6}}{5\cdot 7p_{0}^{6}}}+23803{\frac {p^{8}}{3\cdot 5\cdot 7p_{0}^{8}}}\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a0d5dc22367be6bb21cd5bc3e3bbc40b5100e4)
