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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Der vorliegende Satz hätte, vielleicht einfacher, mittelst einer aus dem Green’schen Satze abgeleiteten Betrachtung bewiesen werden können; in dem hier gegebenen Beweise sind implicite die Formeln enthalten:

$\int \left\lbrace \left({\frac {\partial \psi _{n}}{\partial \omega _{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi _{n}}{\partial \omega _{y}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi _{n}}{\partial \omega _{z}}}\right)^{2}\right\rbrace \,ds=n(n+1)\int \psi _{n}^{2}\,ds\,$ [1]

${\frac {\partial }{\partial \omega _{x}}}(\sin i\omega \ P_{ni})\,$

$=-{\tfrac {1}{2}}\ \cos(i+1)\omega \ P_{n,i+1}-{\tfrac {1}{2}}(n+i)(n-i+1)\ \cos(i-1)\omega \ P_{n,i-1}\,$

${\frac {\partial }{\partial \omega _{y}}}(\sin i\omega )\ P_{ni})\,$

$=-{\tfrac {1}{2}}\ \sin(i+1)\omega \ P_{n,i+1}+{\tfrac {1}{2}}(n+i)(n-i+1)\ \sin(i-1)\omega \ P_{n,i-1}\,$

${\frac {\partial }{\partial \omega _{z}}}(\sin i\omega P_{ni})=i\ \cos i\omega \ P_{ni},\,$

an welche sich leicht ähnliche anschliessen lassen. Beziehen sich $\omega ,\ \theta \,$ und $\omega ',\ \theta '\,$ auf Polarcoordinatensysteme mit verschiedenen Achsen, so erlauben die zuletzt angeführten Gleichungen, Integrale von der Form

$\int \cos i\omega \ P_{ni}(\theta )\ \cos j\omega '\ P_{nj}(\theta ')\,ds',\,$

(in welchen die $\omega ',\ \theta '\,$ als die Integrationsvariabelen betrachtet sind) aus dem bekannten

$\int P_{no}(\theta )\ \cos j\omega '\ P_{nj}(\theta ')\,ds'={\frac {4\pi }{2n+1}}\ \cos ij\omega \ P_{nj}(\theta )\,$

abzuleiten, allerdings im Allgemeinen nur mittelst weitläufiger Rechnungen.

Ich bestimme jetzt die in der rotirenden Kugel durch das Glied $\chi _{ni}\,$ der inducirenden Potentialfunktion erzeugte Wärme. ^[2] Zu $\chi _{ni}\,$ gehört

$\psi _{ni}=-{\frac {\omega }{\varkappa }}A\varrho \left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}{\frac {i}{n+1}}(f_{1}\ \sin i\omega +f_{2}\ \cos i\omega )\ P_{ni},\,$

also die Wärme

$W_{ni}={\frac {\omega ^{2}}{\varkappa }}A^{2}{\frac {i^{2}(n,i)}{(n+1)^{2}}}\int \limits _{r}^{R}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{2n}(f_{1}^{2}+f_{2}^{2})\varrho ^{2}\,d\varrho .\,$

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1. Analytische Formeln. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Wärmeerzeugung in der rotirenden Kugel. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 61. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_062.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)