Seite:De Induction in rotirenden Kugeln (Hertz) 048.png

	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

47

${\begin{aligned}p_{0}&={\frac {e^{\sigma }-e^{-\sigma }}{\sigma }}\\p_{1}&={\frac {2}{\sigma ^{2}}}\left(e^{\sigma }+e^{-\sigma }-{\frac {e^{\sigma }-e^{-\sigma }}{\sigma }}\right)\ {\text{etc.}}\end{aligned}}\,$

Für grosse Werthe von $\sigma \,$ nähern sich die $p\,$ und $q\,$ den Ausdrücken:

${\begin{aligned}q_{n}&=(-2)^{n}n!\cdot {\frac {e^{-\sigma }}{\sigma ^{n+1}}}\\p_{n}(\sigma )&=-q_{n}(-\sigma ).\end{aligned}}\,$ [1]

Für sehr kleine Werthe von $\sigma \,$ wird:

$q_{n}(\sigma )={\frac {(-2)^{n}n!1\cdot 3\cdots 2n-1}{\sigma ^{2n+1}}}e^{-\sigma }.\,$

Die Gleichung $-p(\sigma )=q(\sigma )+q(-\sigma )\,$ verliert hier ihre Bedeutung, da für $\sigma =0,\ q=\pm \infty \,$ wird. Um auch für sehr kleine $\sigma \ p\,$ zu kennen, entwickeln wir es in eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von $\sigma .\,$ Es geschieht das leicht, indem man in dem Integral, welches $p\,$ darstellt, für $e^{+\sigma }\,$ seine Reihe setzt und gliedweise integrirt, man erhält:

$p_{n}{\sigma }={\frac {2^{n+1}n!}{1\cdot 3\cdots 2n-1}}\left\lbrace 1+{\frac {\sigma ^{2}}{2\cdot 2n+3}}+{\frac {\sigma ^{4}}{2\cdot 4\cdot 2n+3\cdot 2n+5}}+\cdots \right\rbrace .\,$

Von Wichtigkeit für später ist uns noch die folgende Formel: Es ist:

$a)\,$

${\begin{aligned}&\qquad q_{n}(\sigma )q_{n-1}(-\sigma )-q_{n}(-\sigma )q_{n-1}(\sigma )\\&=-{\frac {4n(n-1)}{\sigma ^{2}}}{\Big \{}q_{n-1}(\sigma )q_{n-2}(-\sigma )-q_{n-1}(-\sigma )q_{n-2}(\sigma ){\Big \}}\\&={\frac {n!(n-1)!}{\sigma }}\left(-{\frac {4}{\sigma ^{2}}}\right)^{n},\end{aligned}}\,$

welche Formel sich durch die für $q\,$ gefundene Recursionsformel leicht beweisen lässt.

In allen besprochenen Eigenschaften der $p_{n}\,$ und $q_{n}\,$ zeigt sich eine nahe Verwandtschaft derselben zu den Bessel’schen Funktionen, in der That lassen sich die $J^{m}\,$ durch die $p_{m+{\tfrac {1}{2}}}\,$ und $q_{m+{\tfrac {1}{2}}}\,$ ausdrücken.

---

1. Die $p\,$ und $q\,$ für grosse und kleine Werthe des Arguments. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 47. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_048.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)