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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Indem man diese Ausdrücke in $\varphi _{1}\,$ und $\varphi _{2}\,$ einsetzt, erhält man die vollständige Lösung. Dieselbe lässt sich einfacher darstellen in folgender Weise: Da $\lambda _{1}\,$ und $\lambda _{2}\,$ conjugirt sind, so sind auch $p(\lambda _{1}\sigma )\,$ und $p(\lambda _{2}\sigma )\,$ conjugirt, ebenso sind, wie man leicht sieht, $A\,$ und $B\,$ conjugirt, und es ist daher

$Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )+Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma )\,$

gleich dem doppelten Werthe des reellen Theiles jedes dieser Ausdrücke. Ebenso ist

$Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )-Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma ),\,$

welcher Ausdruck in $\varphi _{2}\,$ vorkommt, gleich dem Doppelten des imaginären Theiles des ersten Gliedes. Indem man dies beachtet, und die Werthe von $A\,$ und $C,\,$ erkennt man leicht die Richtigkeit der Gleichung:

${\frac {2n+1}{2n}}\cdot {\frac {p_{n}(\lambda _{1}\sigma )q_{n+1}(\lambda _{1}s)-q_{n}(\lambda _{1}\sigma )p_{n+1}(\lambda _{1}s)}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)q_{n+1}(\lambda _{1}s)-q_{n-1}(\lambda _{1}S)p_{n+1}(\lambda _{1}s)}}\,$ [1]

$=\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}=f_{1}+f_{2}{\sqrt {-1}}.\,$

Besonders einfach wird die Gleichung, wenn $s=0\,$ ist, es sich also um eine Vollkugel handelt. Dann ist $q_{n+1}(s)\,$ unendlich, unsere Gleichung wird also:

${\frac {2n+1}{2n}}{\frac {p_{n}(\lambda _{1}\sigma )}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)}}=\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}.\,$

Die Grössen, auf deren Kenntniss es uns besonders ankommt, nämlich der Winkel $\delta ={\text{arc tg}}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,$ und die Verstärkung der Stromstärke ${\sqrt {f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}},\,$ haben eine sehr einfache analytische Bedeutung, sie sind Amplitude und Modul der links stehenden complexen Grössen.

Die Rechnungen lassen sich weiter führen mit Zuhülfenahme der folgenden Bemerkungen:

Die Integrale, durch welche $p\,$ und $q\,$ definirt sind, lassen ^[2] sich für ganzzahlige $n\,$ unbestimmt ausführen, und die $p\,$ und $q\,$ also in geschlossener Form erhalten. Wir können und wollen unter den $p\,$ und $q\,$ diese so ausgerechneten Funktionen verstehen.

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1. Lösung der Gleichung für $f_{1}\,$ und $f_{2}\,$ mittelst der $p\,$ und $q.\,$ WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Weitere Eigenschaften der $p\,$ und $q.\,$ WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 45. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_046.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)