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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Es seien $U,\ V,\ W\,$ die Componenten eines Vectorpotentiales, welches von geschlossenen Strömen herrührt, die ganz oder theilweise im Innern der Kugel liegen. Wir suchen die von $U,\ V,\ W\,$ inducirten Ströme $u',\ v',\ w'.\,$ Für dieselben bestehen die Gleichungen:

[1]

${\begin{aligned}\varkappa u'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+\omega x\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\\varkappa v'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+\omega y\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\\varkappa w'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}-\omega x\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)-\omega y\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,$

ferner im Innern:

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0,\,$

und an der Oberfläche:

$ux+vy+wz=0.\,$

Wir setzen zur Abkürzung

$O=x\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+y\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+z\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right).\,$

Unter Beachtung des Umstandes, dass

${\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}=0\,$

ist, erhalten wir nun für $\varphi \,$ die Bedingungen:

In der Masse der Hohlkugel:

${\mathit {\Delta }}\varphi =2\omega \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)+\omega (x{\mathit {\Delta }}V-y{\mathit {\Delta }}U),\,$

und an der Grenze

${\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {\omega }{\varrho }}\left\lbrace \varrho ^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)-zO\right\rbrace .\,$

^[2] Wir beweisen zunächst den folgenden Satz: Haben $U\ V\ W\,$ die Form:

---

1. Die Differentialgleichungen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Satz, welcher die Grundlage des Folgenden bildet. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 32. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_033.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)