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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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nach steigenden Potenzen von ${\frac {2\pi \alpha }{k}},\,$ wie sich in folgender Weise zeigt:

In der Kugelschaale lässt sich das zu $\chi _{(-n-1)i}\,$ gehörige $\Omega _{a}\,$ in der Form darstellen: (Seite 19 unten.)

${\begin{aligned}{\mathit {\Omega _{a}}}&=-{\frac {1}{1+h^{2}}}\left({\frac {h}{i}}{\frac {\partial \chi }{\partial \omega }}+h^{2}\chi \right)\\h&={\frac {4\pi R\omega i}{(2n+1)k}}.\end{aligned}}\,$

Machen wir nun wieder die auf die ebene Platte bezüglichen Substitutionen, entwickeln

${\frac {1}{1+h^{2}}}=1-h^{2}+h^{4}-h^{6}+\cdots ,\,$

und setzen für $h\,$ seinen Werth

${\frac {2\pi \alpha }{k}}\cdot {\frac {r}{n}},\,$

so folgt

${\begin{aligned}{\mathit {\Omega _{+}}}=-{\frac {2\pi \alpha }{k}}{\frac {1}{n}}{\frac {\partial \chi _{rs}}{\partial \eta }}-\left({\frac {2\pi \alpha }{k}}\right)^{2}&{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\chi _{rs}+\left({\frac {2\pi \alpha }{k}}\right)^{3}{\frac {r^{2}}{n^{3}}}{\frac {\partial \chi _{rs}}{\partial \eta }}\\&+\left({\frac {2\pi \alpha }{k}}\right)^{4}{\frac {r^{4}}{n^{4}}}\chi _{rs}-\ldots ,\end{aligned}}\,$

aus welcher Entwickelung die vorige folgt, wenn man die Relationen

$\int \limits _{\zeta }^{\infty }\chi _{rs}\,d\zeta ={\frac {\chi _{rs}}{n}},\ {\frac {\partial ^{2}\chi _{rs}}{\partial \eta ^{2}}}=-r^{2}\chi _{rs}\,$

anwendet, und die Summation über alle $r\,$ und $s\,$ ausführt. Hieran knüpft sich naturgemäss der Versuch, für sehr grosse Werthe von ${\frac {2\pi \alpha }{k}}\,$ ein Entwickelung nach absteigenden Potenzen dieser Grösse zu erhalten.

Ist $h>1,\,$ so haben wir

${\frac {1}{1+h^{3}}}={\frac {1}{h^{2}}}\left(1-{\frac {1}{h^{2}}}+{\frac {1}{h^{4}}}-\cdots \right),\,$

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 25. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_026.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)