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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Wir gehen wieder von der unendlichen Hohlkugel aus. Zu der inducirenden Potentialfunction $\chi _{-n-1}\,$ gehörte im äussern Raum die inducirte Potentialfunktion:

${\mathit {\Omega _{a}}}=-{\frac {4\pi R}{2n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial \chi _{-n-1}}{\partial \omega }}.\,$

Lassen wir nun $R\,$ unendlich werden, während wir ersetzen

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\ &{\text{durch}}\ R{\frac {\partial }{\partial \eta }}\\n\ &{\text{durch}}\ nR\\\omega R\ &{\text{durch}}\ \alpha \\\chi _{-n-1}\ &{\text{durch}}\ \chi _{n}=A_{n}e^{-n\zeta }\cos r\eta \cos s\xi \end{aligned}}\,$

so wird

${\mathit {\Omega _{+}}}=-{\frac {2\pi \alpha }{k}}{\frac {1}{n}}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \eta }}\,$

Aber es ist:

$\int \limits _{\zeta }^{\infty }\chi _{n}\,d\zeta ={\frac {\chi _{n}}{n}}.\,$

Also ist, nach Summation über alle $n\,$

${\mathit {\Omega _{+}}}=-{\frac {2\pi \alpha }{k}}\int \limits _{\zeta }^{\infty }{\frac {\partial \chi }{\partial \eta }}\,d\zeta .\,$

Aus diesem ${\mathit {\Omega }}\,$ können wir nun in ganz derselben Weise das inducirte Potential zweiter Ordnung erhalten, und indem wir in derselben Weise fortrechnen, erhalten wir schliesslich das Resultat:

[1]

${\mathit {\Omega _{+}}}=-{\frac {2\pi \alpha }{k}}\int \limits _{\zeta }^{\infty }{\frac {\partial \chi }{\partial \eta }}\,d\zeta +\left({\frac {2\pi \alpha }{k}}\right)^{2}\int \limits _{\zeta }^{\infty }\int \limits _{\zeta }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \eta }}\,d\zeta ^{2}-\ldots \,$

${\mathit {\Omega _{-}}}(-\zeta )=-{\mathit {\Omega _{+}}}(\zeta )\,$

$\psi ={\frac {1}{2\pi }}{\bar {\mathit {\Omega _{+}}}}.\,$

Diese Reihe führt, hinreichend fortgesetzt, zu dem exacten Resultat; in der That ist sie nur die Entwickelung desselben

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1. Zweite Form der Lösung. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 24. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_025.png&oldid=- (Version vom 5.7.2016)