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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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und es folgen jetzt die übrigen Attribute der Strömung ohne Weiteres aus ${\mathit {\Psi }}.\,$ Eine willkürliche Constante, welche noch zu ${\mathit {\Psi }}\,$ hinzugefügt werden kann, ist ohne Belang.

Sonach erhalten wir die Lösung unserer Aufgabe für eine Kugelschaale in folgender Form (§ 1,5):

Es sei

$\chi _{n}=\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n}\quad n>0\,$

die inducirende Potentialfunktion, dann ist:

${\begin{aligned}{\mathit {\Psi _{i}}}&={\frac {4\pi R^{2}}{(2n+1)(n+1)}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n}'\\{\mathit {\Psi _{a}}}&={\frac {4\pi R^{2}}{(2n+1)(n+1)}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}Y_{n}'\\\psi &={\frac {\omega }{k}}{\frac {R}{n+1}}Y_{n}'\\{\mathit {\Omega _{i}}}&=-{\frac {4\pi R}{2n+1}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n}'\\{\mathit {\Omega _{a}}}&={\frac {4\pi Rn}{(2n+1)(n+1)}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}y_{n}'.\end{aligned}}\,$[1]

Aus den Relationen

$U={\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial \omega _{x}}}{\mathit {\Psi }},\quad {\frac {\partial U_{a}}{\partial \varrho }}-{\frac {\partial U_{i}}{\partial \varrho }}=-4\pi u\,$

und den entsprechenden für $V\,$ und $W\,$ erhält man ferner:

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \omega _{x}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial Y_{n}'}{\partial \omega _{x}}}\\v&={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \omega _{y}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial Y_{n}'}{\partial \omega _{y}}}\\w&={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \omega _{z}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial Y_{n}'}{\partial \omega _{z}}}.\end{aligned}}\,$

Endlich lässt sich der Ausdruck für das elektrische Potential in der Masse der Hohlkugel umformen. Setzt man für den Augenblick $\varrho '=\varrho \sin \theta ,\,$ so ist

$\varphi ={\frac {\omega }{n+1}}\left(\varrho '\,{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-z\,{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \varrho '}}\right)\,$

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1. Zusammenstellung der Formeln. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 13. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_014.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)