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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Dann ist

${\begin{aligned}&{\mathfrak {X}}=&\omega x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\\&{\mathfrak {Y}}=&\omega y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\\&{\mathfrak {Z}}=-\omega y{\frac {\partial \chi }{\partial y}}-\omega x{\frac {\partial \chi }{\partial x}}=&\omega z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-\omega n\chi _{n}.\end{aligned}}\,$

Daraus folgen für $\varphi \,$ die Bedingungen:

In der Masse der Hohlkugel

$a)\,$

${\mathit {\Delta }}\varphi =2\omega {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\,$

^[1] für $\varrho =r\,$ und $\varrho =R:\,$

$b)\,$

${\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {\omega }{\varrho }}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right).\,$

Eine Lösung dieser Gleichungen ist:

$\varphi ={\frac {\omega }{n+1}}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right).\,$

Denn es ist

${\begin{aligned}&{\mathit {\Delta }}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi }{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)\\&=2(2n+1){\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-2n{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\quad (\S 1,4)\\&=2(n+1){\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}},\end{aligned}}\,$

so dass die Gleichung für das Innere befriedigt ist. Ferner ist $\varphi \,$ ein Produkt aus $\varrho ^{n+1}\,$ und einer Funktion der Winkel $\theta \,$ und $\omega ,\,$ daraus ergiebt sich leicht, dass $\varphi \,$ der Grenzgleichung genügt.

Der Werth der Constanten, welchen man zu obigem Ausdruck zu addiren hat, um die allgemeine Lösung zu erhalten, hängt in jedem Falle von den elektrostatischen Einflüssen ab, denen die Kugel ausgesetzt ist. Es kann der Kugel in jedem Falle so viel freie Elektricität zugeführt werden, dass die Constante gleich Null wird, und es sei dies in der Folge vorausgesetzt.

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1. Bestimmung des elektrischen Potentials. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 10. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_011.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)