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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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5. Es sei $\psi \,$ die Strömungsfunktion einer Kugelschaale vom Radius $R,\,$ es sei ${\mathit {\Psi }}=\int {\frac {\psi ds}{r}}\,$ das Potential einer Masse, welche auf der Kugelschaale mit der Dichtigkeit $\psi \,$ verbreitet ist, so ist das Potential der Strömung: ^[1]

${\mathit {\Omega }}=-{\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial \varrho }}({\mathit {\Psi }}\varrho )\,$

und die Grössen $U\ V\ W\,$ sind:

${\begin{aligned}&U={\frac {y}{R}}{\frac {\partial {\mathit {\Psi }}}{\partial z}}-{\frac {z}{R}}{\frac {\partial {\mathit {\Psi }}}{\partial y}}={\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial \omega _{x}}}{\mathit {\Psi }}\\&V={\frac {z}{R}}{\frac {\partial {\mathit {\Psi }}}{\partial x}}-{\frac {x}{R}}{\frac {\partial {\mathit {\Psi }}}{\partial z}}={\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial \omega _{y}}}{\mathit {\Psi }}\\&U={\frac {x}{R}}{\frac {\partial {\mathit {\Psi }}}{\partial y}}-{\frac {y}{R}}{\frac {\partial {\mathit {\Psi }}}{\partial x}}={\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial \omega _{z}}}{\mathit {\Psi }}.\end{aligned}}\,$

Ist ${\mathit {\Psi }}\,$ eine homogene Funktion $n\,$ten Grades in $x,y,z,$ so ist

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}&=-{\frac {n+1}{R}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\mathit {\Psi }}\\{\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}&=-{\frac {n+1}{R}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\mathit {\Psi }}\\{\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}&=-{\frac {n+1}{R}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathit {\Psi }}.\end{aligned}}\,$

Immer ist:

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}&={\frac {\partial {\mathit {\Omega }}}{\partial z}}\\{\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}&={\frac {\partial {\mathit {\Omega }}}{\partial y}}\\{\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}&={\frac {\partial {\mathit {\Omega }}}{\partial x}}.\end{aligned}}\,$

Man findet diese Formeln entwickelt in Maxwell’s Treatise on electricity, Vol. II, pag. 276. Die Vorzeichen sind dort theilweise andere, es liegt dies daran, dass dort nicht unser Coordinatensystem, sondern das symmetrische angewandt ist. Das hier benutzte Coordinatensystem ist dasjenige, auf welches sich die Helmholtz’schen Formeln beziehen.

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1. Sätze über die Strömung in Kugelschaalen WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 7. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_008.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)