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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.36

Die Gleichungen (187) können infolgedessen und mit Rücksicht auf Satz 127 (S. 204) in der Gestalt

$\mu +\zeta ^{u}\varrho =\zeta ^{e_{u}}\varepsilon _{u}\alpha _{u}^{l},\qquad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2)$

(189)

geschrieben werden, wo die $e_{u}$ gewisse ganzzahlige Exponenten, die $\varepsilon _{u}$ geeignete reelle Einheiten des Kreiskörpers $k(\zeta )$ und die $\alpha _{u}$ gewisse ganze oder gebrochene Zahlen mit zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zählern und Nennern in $k(\zeta )$ bedeuten. Da die $l$-te Potenz der Zahl $\alpha _{u}$ jedesmal kongruent einer gewissen ganzen rationalen Zahl $a_{u}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ist, so erhalten wir aus den Gleichungen (189) die Kongruenzen

$\mu +\zeta ^{u}\varrho \equiv \zeta ^{e_{u}}\varepsilon _{u}a_{u},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$

(190)

Auf diese Kongruenzen wenden wir die Substitution $\left(\zeta :\zeta ^{-1}\right)$ an und bezeichnen die bei dieser Substitution aus $\mu$ und $\varrho$ hervorgehenden Zahlen mit $\mu '$ und $\varrho '$; dann entsteht

$\mu '+\zeta ^{-u}\varrho '\equiv \zeta ^{-e_{u}}\varepsilon _{u}a_{u},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$

(191)

Aus (190) und (191) folgt

$\mu +\zeta ^{u}\varrho \equiv \zeta ^{2e_{u}}\mu '+\zeta ^{2e_{u}-u}\varrho ',\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$

(192)

Setzen wir $\mu \equiv m$, $\varrho \equiv r$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, wo $m$ und $r$ ganze rationale Zahlen bedeuten sollen, so folgt aus (192)

$m+\zeta ^{u}r\equiv \zeta ^{2e_{u}}m+\zeta ^{2e_{u}-u}r,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2}\right),$

(193)

und wegen der allgemeinen Beziehung $\zeta ^{g}\equiv 1-g\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ liefert (193) die Kongruenz:

$2e_{u}(m+r)\equiv 2ru,\qquad (l).$

Andererseits folgt aus der Gleichung (188) $m+r\equiv 1$ nach $l$, und daher haben wir

$e_{u}\equiv ru,\qquad (l),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$

Nehmen wir nun unter Berücksichtigung dieser Beziehung speziell die Kongruenzen (192) für $u=0,\ 1,\ 2,\ 3$, so folgt aus diesen durch Elimination der Zahlen $\mu ,\ \varrho ,\ \mu ',\ \varrho '$ notwendig

${\begin{vmatrix}1,&1,&1,&1\\1,&\zeta ,&\zeta ^{2r},&\zeta ^{2r-1}\\1,&\left(\zeta \right)^{2},&\left(\zeta ^{2r}\right)^{2},&\left(\zeta ^{2r-1}\right)^{2}\\1,&\left(\zeta \right)^{3},&\left(\zeta ^{2r}\right)^{3},&\left(\zeta ^{2r-1}\right)^{3}\end{vmatrix}}\equiv 0,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),$

d. i.

$\left(1-\zeta \right)\left(1-\zeta ^{2r}\right)\left(1-\zeta ^{2r-1}\right)\left(\zeta -\zeta ^{2r}\right)\left(\zeta -\zeta ^{2r-1}\right)\left(\zeta ^{2r}-\zeta ^{2r-1}\right)\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}).$

(194)

Hier ist auf der linken Seite keiner der Faktoren gleich $0$, denn sonst müßte entweder $r\equiv 0$ oder $r\equiv 1$ oder $r\equiv {\tfrac {1}{2}}$ nach $l$ sein. Wäre $r\equiv 0$ nach $l$, so

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 351. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/368&oldid=- (Version vom 31.7.2018)