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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Kegelöffnung. Auch wird, wie ebenfalls aus (24.) folgt, die Determinante $\Delta$ immer diejenige Richtung besitzen, in welcher $\epsilon {\mathsf {K}}$ abnimmt.

§. 46. Fortsetzung. — Construction der Richtung der Determinante für einen unendlich kleinen Strom.

Es sei $\lambda _{1}$ die Fläche des unendlich kleinen Stromes, $n_{1}$ die positive Normale derselben; ferner seien $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus dieser Normale; ferner mögen die relativen Coordinaten des betrachteten Punctes $(x,y,z)$ in Bezug auf den Strom $\lambda _{1}\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ bezeichnet sein mit $\xi ,\eta ,\zeta ;$ so dass also

(25.)

$\xi =x-x_{1},\ \eta =y-y_{1},\ \zeta =z-z_{1};$

endlich sei $\Delta (\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma )$ die Determinante von $\lambda _{1}$ in Bezug auf jenen Punct.

In diesem Fall reducirt sich die Formel (16.) auf:

(26.)

${\mathsf {A}}=\Sigma _{\lambda _{1}},$

wo $\Sigma _{\lambda _{1}}$, nach (19.), den Werth hat:

$\Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),$

also mit Rücksicht auf (25.) auch so dargestellt werden kann:

${\begin{array}{ll}\Sigma _{\lambda _{1}}&=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\right),\\\\&=-\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\frac {\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta }{r^{3}}}\right),\\\\&=-\lambda _{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{r^{3}}}-{\frac {3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{4}}}{\frac {\xi }{r}}\right).\end{array}}$

Somit folgt aus (26.) sofort:

(27.)

${\begin{array}{l}\mathrm {A} =-\lambda _{1}{\frac {\alpha _{1}r^{2}-3\xi \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}};\ \mathrm {und\ ebenso\ wird} :\\\\\mathrm {B} =-\lambda _{1}{\frac {\beta _{1}r^{2}-3\eta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}},\\\\\Gamma =-\lambda _{1}{\frac {\gamma _{1}r^{2}-3\zeta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}}.\end{array}}$

Diese Formeln führen in Betreff der Determinante $\Delta$ oder $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ zu folgender Construction:

Man theile die von dem unendlich kleinen Strom $\lambda _{1}$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 248. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_266.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)