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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Im Allgemeinen lassen sich jene Zuwüchse $du_{1},\ dv_{1},\ dw_{1}$ (vergl. pag. 178) darstellen durch die Formeln:

${\begin{array}{lll}du_{1}=\Delta u_{1}+\delta u_{1},&&\delta u_{1}=w_{1}\delta \beta _{1}-v_{1}\delta \gamma _{1},\\dv_{1}=\Delta v_{1}+\delta v_{1},&&\delta v_{1}=u_{1}\delta \gamma _{1}-w_{1}\delta \alpha _{1},\\dw_{1}=\Delta w_{1}+\delta w_{1},&&\delta w_{1}=v_{1}\delta \alpha _{1}-u_{1}\delta \beta _{1}.\end{array}}$

In dem hier betrachteten speciellen Falle ergeben sich daher, weil $du_{1}=dv_{1}=dw_{1}=0$, und die Rotationsaxe $\mu \nu$ parallel der $z$-Axe ist, folgende Gleichungen:

(2.)	${\begin{array}{lll}0=\Delta u_{1}+\delta u_{1},&&\delta u_{1}=-v_{1}g_{1}dt\\0=\Delta v_{1}+\delta v_{1},&&\delta v_{1}=+u_{1}g_{1}dt\\0=\Delta w_{1}+\delta w_{1},&&\delta w_{1}=0,\end{array}}$

wo $g_{1}$ die Rotationsgeschwindigkeit des Cylinders $B$ bezeichnet.

Bezeichnet man nun die vom Elemente ${\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ in irgend einem Puncte $m_{0}$ des Körpers $A$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us mit

(3.)	$X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt,$

so ist, zufolge früherer Ergebnisse (pag. 181):

(4.)	$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\delta \Omega '}{2}}+\Delta \Omega '+{\frac {\sigma \mathrm {A} \delta j_{1}}{2}}\right);$

denn es ist zu beachten, dass im vorliegenden Falle nicht nur $\delta \alpha _{0},\delta \beta _{0},\delta \gamma _{0}$, sondern auch $\delta r,\delta \mathrm {A} ,\delta \mathrm {B} ,\delta \Gamma$ sämmtlich verschwinden, weil die Linie $r$, die Verbindungslinie von $m_{0}$ und dem Mittelpunct $m_{1}$ des Volumens ${\mathsf {Dv}}_{1}$, ihrer Länge und Richtung nach unveränderlich ist. In der Formel (4.) haben $j_{1}$ und $\Omega '$ die Bedeutungen (vergl. pag. 181):

(5.)	${\begin{array}{l}j_{1}=\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\\\Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}u_{1}.\end{array}}$

Hieraus folgt, wiederum mit Rücksicht darauf, dass $r,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ unveränderlich gegeben sind:

(6.)

${\begin{array}{l}\delta j_{1}=\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1},\\\delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\delta u_{1},\\\Delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \Delta u_{1}+\mathrm {B} \Delta v_{1}+\Gamma \Delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\Delta u_{1}.\end{array}}$

Durch Substitution dieser Werthe (6.) in die Formel (4.) folgt:

(7.)

$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left\{{\begin{array}{c}{\frac {\sigma +\omega }{2}}\mathrm {A} \left(\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1}\right)+{\frac {\overset {II}{\omega }}{2}}\delta u_{1}\\\\+\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \Delta u_{1}+\mathrm {B} \Delta v_{1}+\Gamma \Delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\Delta u_{1}\end{array}}\right\}.$

Beachtet man nun, dass im hier betrachteten Fall [nach (2.)] $\Delta u_{1}=-\delta u_{1},\ \Delta v_{1}=-\delta v_{1},\ \Delta w_{1}=-\delta w_{1}$ ist, so ergiebt sich:

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 189. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_207.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)