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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Die Integration rechter Hand kann weiter ausgeführt werden mit Hülfe von früher [(74. p,q) pag. 64] gefundenen Formeln; aus denselben ergiebt sich nämlich sofort:

${\begin{array}{ll}dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right){\mathsf {D}}s_{0}&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\Delta s_{0},\\\\dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right){\mathsf {D}}s_{0}&=0,\end{array}}$

woraus durch Addition folgt:

(16.a)

${\begin{array}{ll}dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right){\mathsf {D}}s_{0}&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\Delta s_{0}\\\\&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\Delta s_{0}.\end{array}}$

In gleicher Weise ergiebt sich die analoge Formel:

(16.b)

${\begin{array}{ll}dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right){\mathsf {D}}s_{1}&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\Delta s_{1}\\\\&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\Delta s_{1}.\end{array}}$

Nun ist ${\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}=\Theta _{0},\ {\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}=-\Theta _{1},$ und [nach (13.)] ${\frac {\partial \lambda }{\partial r}}=\sigma$. Die Formeln (16.a,b) können daher auch so geschrieben werden:

(17.a)

$dt\cdot \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)=\Sigma \ \Delta s_{0}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1},$

(17.b)

$dt\cdot \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)=\Sigma \ \Delta s_{1}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1},$

Durch (17. a,b) gewinnt der Ausdruck (15.) folgende Gestalt:

(18.)

${\begin{array}{l}J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)}{2}}\\\\\qquad =J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left(\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1}-{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1}\right)}{2}}.\end{array}}$

Endlich kann das Glied dritter Zeile in (5.), mit Rücksicht auf (6.), sofort in die Form gebracht werden:

(19.)

$\left(dJ_{1}\right)\Sigma \Sigma \cdot {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega =\left(dJ_{1}\right)Q=QdJ_{1}.$

---

Substituirt man nun in (5.) für die einzelnen Glieder die gefundenen Werthe (11.), (18.), (19.), so folgt:

(20.a)

$dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathfrak {E}}_{0}^{1}=d\left(J_{1}Q\right)+J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Upsilon -\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Upsilon \right)}{2}},$

wo $\Upsilon$ die Bedeutung hat:

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 153. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_171.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)