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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Fünf Sätze über Curven-Integrale.

dieser Voraussetzung aber folgt mit Rückblick auf (37.) sofort, dass die Function

$E+\int {\frac {Fdr}{r}}\,$

eine Constante ist. Es ergiebt sich also:

$E+\int {\frac {Fdr}{r}}={\text{Const.}},\,$

und hieraus durch Differentiation nach $r:\,$

${\frac {dE}{dr}}+{\frac {F}{r}}=0;\ {\text{w. z. b. w.}}\,$

     Corollar. Sind die Functionen

$U=U(x,y,z),\quad V=V(x,y,z),\quad W=W(x,y,z)\,$

von solcher Beschaffenheit, dass das über eine in sich zurücklaufende Curve hinerstreckte Integral

${\mathit {\Sigma }}\ (U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z),\,$

wie jene Curve im Uebrigen auch beschaffen sein mag, jederzeit verschwindet, so wird der Ausdruck

$U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z\,$

ein vollständiges Differential sein.

     Der Beweis dieser Behauptung ergiebt sich unmittelbar durch Anwendung des ersten Satzes ^[1]. Auch erkennt man leicht, dass, mit Bezug auf ein Gebiet von $n\,$ Dimensionen, Analoges gelten wird von einem Ausdruck von der Form:

$U_{1}\mathrm {D} x_{1}+U_{2}\mathrm {D} x_{2}+U_{3}\mathrm {D} x_{3}\ldots .+U_{n}\mathrm {D} x_{n},\,$

wo jedes $U\,$ eine Function von $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{n}\,$ vorstellen soll.

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1. Selbstverständlich sind, wenn jener erste Satz (pag. 88), und ebenso das hier angegebene Corollar, wirklich strenge sein sollen, noch gewisse Bedingungen der Stetigkeit und Eindeutigkeit hinzuzufügen. Derartige Bedingungen sind hier (und auch an andern Stellen dieses Werkes) absichtlich unterdrückt worden, um nicht, durch allerhand leicht zu suppeditirendes Beiwerk, den Blick von der Hauptsache abzulenken.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 64. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_114.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)