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Fünf Sätze über Curven-Integrale.
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wo 
gerechnet sein soll von 
nach 
Alsdann wird für eine beliebige nur von abhängende Function 
jederzeit die Gleichung stattfinden:
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![{\displaystyle {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\left[\left(\int {\frac {Fdr}{r}}\right)\mathrm {E} +F\Theta \Theta _{1}\right]=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2506296484608a4fc9170e1ab144502bf3442b8)
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die Integration ausgedehnt gedacht über jene beiden geschlossenen Curven.
Beweis. — Der Satz ist, abgesehen von der etwas abweichenden Form, identisch mit einem schon früher (pag. 69) gefundenem Satze.
Fünfter Satz. Hält man fest an den Bezeichnungen des vorhergehenden Satzes, versteht man ferner unter 
und irgend zwei nur von abhängende Functionen, und ist bekannt, dass das über zwei geschlossene Curven ausgedehnte Integral
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jederzeit verschwindet, wie beschaffen jene beiden geschlossenen Curven auch sein mögen; — so folgt daraus, dass die beiden Functionen 
und 
miteinander verknüpft sind durch die Relation:
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Beweis. — Addirt man zu dem Integrale
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das zufolge des vorhergehenden Satzes jederzeit verschwindende Integral (39.):
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![{\displaystyle {\mathit {\Sigma \Sigma }}\mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\left[\left(\int {\frac {Fdr}{r}}\right)\mathrm {E} +F\Theta \Theta _{1}\right],\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e7c62bfff70fcc233a93d0047691ab2f2a9609)
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so erhält man
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d.i.
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![{\displaystyle L={\mathit {\Sigma \Sigma }}\left[\left(E+\int {\frac {Fdr}{r}}\right)(\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1})\right],\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0f2246a055e4bb2cf74bd7a74fa895f983d373)
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wo 
und 
die rechtwinkligen Projectionen von 
und vorstellen.
In Betreff der Functionen 
ist nun in unserm Satze als bekannt vorausgesetzt, dass dieses Integral 
verschwindet für zwei geschlossene Curven, wie beschaffen dieselben auch sein mögen. Aus
