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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Fünf Sätze über Curven-Integrale.

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seitige Entfernung dieser Puncte, endlich unter $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ und $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,$ die Richtungscosinus der in diesen Puncten auf $\lambda \,$ und $\lambda _{1}\,$ errichteten Normalen zu verstehen sind, lässt sich weiter vereinfachen. Bezeich­net man nämlich die eben genannten Normalen kurzweg mit $n\,$ und $n_{1},\,$ so ergiebt sich sofort:

${\begin{aligned}r^{2}&=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},\\r{\frac {\partial r}{\partial n}}&=(x-x_{1})\alpha +(y-y_{1})\beta +(z-z_{1})\gamma .\\r{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}&=-[(x-x_{1})\alpha _{1}+(y-y_{1})\beta _{1}+(z-z_{1})\gamma _{1}],\\r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial n\ \partial n_{1}}}+{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}&=-(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1}).\end{aligned}}\,$

Demgemäss kann die rechte Seite jener Formel auch so geschrieben werden :

$\lambda \lambda _{1}\left(-{\frac {3}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\left(r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial n\ \partial n_{1}}}+{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}\right)\right),\,$

oder auch so:

$\lambda \lambda _{1}\left(-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial n\ \partial n_{1}}}\right),\,$

oder endlich auch so:

$-\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\,$

Jene Formel selber nimmt daher die Gestalt an:

$(35.)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}}{r}}=-\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\,$

„Sind also zwei unendlich kleine ebene geschlossene Curven gegeben mit den Elementen $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ und bezeichnet $r\,$ die Entfer­nung zweier solcher Elemente von einander, so wird das über beide Curven ausgedehnte Integral

$(36.a)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\ \cos \ (\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})}{r}}\,$

„einen Werth besitzen, welcher sich ausdrücken lässt durch:

$(36.b)\,$

$-\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\,$

„In diesem Ausdruck bezeichnen $\lambda ,\lambda _{1}\,$ die von den beiden Curven be -

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 93. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_111.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)