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Fünf Sätze über Curven-Integrale.
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einen Werth besitzen, der sich ausdrücken lässt durch:
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oder auch durch:
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In diesem Ausdrucke bezeichnet den Quadratinhalt der von der Curve umgrenzten ebenen Fläche; ferner bezeichnen daselbst die Richtungscosinus derjenigen auf errichteten Normale, welche positiv liegt zu der durch indicirten Umlaufrichtung; endlich bezeichnen daselbst [nämlich in (17.b, c)] die Coordinaten eines Punctes, welcher auf selber oder unendlich nahe an beliebig gewählt werden darf.
Beweis. — Um den Satz zu beweisen, setzen wir
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und folglich:
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wo irgend ein fester Punct sein soll, der entweder auf selber oder unendlich nahe an liegt, und die Coordinaten dieses Punctes vorstellen sollen. Alsdann wird:
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und folglich durch Entwickelung nach
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Hieraus folgt, wenn man über die Randcurve von integrirt, sofort:
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Nun ist ebenso d. i. Somit ergeben sich die Formeln:
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Ferner erhält man d. i.
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