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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

lineare Leiter. — Ampère’s Elementargesetz.

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Somit folgt:

$(18.)\,$

$R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})=J\mathrm {D} s\cdot J_{1}\mathrm {D} s_{1}\ [\cos \vartheta \cos \vartheta _{1}\cdot {\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r)+(\cos \varepsilon -\cos \vartheta \cos \vartheta _{1}){\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r)].$

Der hier in $[\ ]\,$ stehende Ausdruck repräsentirt, wie aus (11.) zu ersehen, die zu ermittelnde allgemeine Function ${\textrm {P}}.\,$ Die Reduction derselben auf die speciellen Functionen ${\stackrel {\textrm {I}}{\varrho }},{\stackrel {\textrm {II}}{\varrho }}\,$ ist also vollendet.

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     Die beiden Functionen ${\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}\,$ und ${\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}\,$ lassen sieh reduciren auf eine einzige, ebenfalls nur von $r\,$ abhängende Function. — Um solches zu zeigen, schreiben wir zunächst die Formel (18.) in folgender Weise:

$(19.)\,$

$R=J\mathrm {D} s\cdot J_{1}\mathrm {D} s_{1}\ [{\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r)\cos \vartheta \cos \vartheta _{1}+{\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r)(\cos \varepsilon -\cos \vartheta \cos \vartheta _{1})],$

wo $R\,$ um die Vorstellung mehr zu fixiren, diejenige repulsive Kraft vorstellen soll, welche von $\mathrm {D} s_{1}\,$ ausgeübt wird auf $\mathrm {D} s,\,$ so dass also der Werth von $R\,$ positiv oder negativ sein wird, je nachdem diese Kraft die Entfernung $r\,$ zu vergrössern oder zu verkleinern strebt.

     Sind nun, mit Bezug auf ein beliebig gewähltes rechtwinkliges Axensystem $x,y,z\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten von $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1},\,$ so ergiebt sich:

${\begin{aligned}r^{2}&=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},\\r{\frac {\partial r}{\partial s}}&=(x-x_{1}){\frac {\partial x}{\partial s}}+(y-y_{1}){\frac {\partial y}{\partial s}}+(z-z_{1}){\frac {\partial z}{\partial s}},\\r{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}&=-(x-x_{1}){\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}-(y-y_{1}){\frac {\partial y_{1}}{\partial s_{1}}}-(z-z_{1}){\frac {\partial z_{1}}{\partial s_{1}}},\\{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s_{1}}}&=-{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}-{\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial y_{1}}{\partial s_{1}}}-{\frac {\partial z}{\partial s}}{\frac {\partial z_{1}}{\partial s_{1}}},\end{aligned}}$

wo ${\frac {\partial }{\partial s}}\,$ und ${\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\,$ Differentiationen nach den Richtungen der beiden Elemente $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ vorstellen sollen. Aus diesen Formeln ergiebt aber sieh sofort:

${\begin{aligned}{\frac {\partial r}{\partial s}}&=\cos \vartheta \ \ {\text{(vergl. Fig. 5 auf pag. 37)}},\\{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}&=-\cos \vartheta _{1},\\{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s_{1}}}&=-\cos \varepsilon ,\\r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s_{1}}}&=-\cos \varepsilon +\cos \vartheta \cos \vartheta _{1}.\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 39. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_057.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)