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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Die Kräfte elektrostatischen Ursprungs.

weiter behandeln. Setzt man nämlich das Volumenelement $\mathrm {Dv} =\mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}};\,$ so erhält man successive:

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right)&=\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right),\\&=\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\left({\frac {\partial (\varphi {\mathfrak {u}})}{\partial {\mathfrak {x}}}}+\cdot \cdot \right)\\&\quad \quad \quad -\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\ \varphi \ \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}}{\partial {\mathfrak {x}}}}+\cdot \cdot \right),\\&=-\iint \mathrm {D} o\ \varphi \ [{\mathfrak {u}}\cos(N,{\mathfrak {x}})+\cdot \cdot ]\\&\quad \quad \quad -\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\ \varphi \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}}{\partial {\mathfrak {x}}}}+\cdot \cdot \right),\end{aligned}}$

wo $\mathrm {D} o\,$ das Oberflächenelement von $A,\,$ und $N\,$ die innere Normale von $\mathrm {D} o\,$ bezeichnet. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die früher entwickelten Relationen [(9.a, b) und (14.a, b), pag 4, 5) sofort:

${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right)=+\iint \mathrm {D} o\ \varphi \ {\frac {d{\bar {\varepsilon }}}{dt}}+\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\ \varphi \ {\frac {d\varepsilon }{dt}},$

oder was dasselbe ist:

${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right)={\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} o\ \varphi \ {\frac {d{\bar {\varepsilon }}}{dt}}+{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \ \varphi \ {\frac {d\varepsilon }{dt}},$

oder wenn man für $\mathrm {Dv} ,\mathrm {D} o\,$ die vorhin eingeführte Collectivbezeichnung $\mathrm {O} ,\,$ ebenso wie für $\varepsilon ,{\bar {\varepsilon }}\,$ die Collectivbezeichnung $\mathrm {H} \,$ in Anwendung bringt:

${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdots \right)={\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {O} \ \varphi \ {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}.$[WS 1]

Somit folgt aus (51.)

$(52.)\,$

${\begin{aligned}(d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}&=-dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {O} _{1}\mathrm {H} _{1}\left\lbrack {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {O} {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\ \varphi \right\rbrack ,\\&=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {OO} _{1}\ (d\mathrm {H} )\mathrm {H} _{1}\ \varphi ,\end{aligned}}$

oder wenn man den unterdrückten Index $0\,$ restituirt:

$(53.)\,$

$(d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}} \ (d\mathrm {H_{0}} )\mathrm {H_{1}} \ \varphi .$

Durch Addition der Formeln (45.) und (53.) folgt:

$(54.)\,$

${\begin{aligned}(d{T_{A}}^{B}+d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}&=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}\ H_{0}H_{1}} \ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}dx_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}dy_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}dz_{0}\right)\\&=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}} \ (d\mathrm {H_{0})H_{1}} \ \varphi ;\end{aligned}}$

Diese Formel aber erlangt, mit Rücksicht auf den für das Potential $U_{AB}\,$ gefundenen Wert (39.):

$U_{AB}={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}\ H_{0}H_{1}} \ \varphi ,$

Anmerkungen (Wikisource)

1. WS: Satzfehler im Original: ${\frac {d\varphi }{d{\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}$ → ${\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}$ korrigiert.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 30. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_048.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)