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	Paul Gerber: Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation

Man multipliziere die Gleichung für ${\frac {d\omega }{dt}}$ mit dt und setze im zweiten und im dritten Gliede der rechten Seite

$dt={\frac {r^{2}}{L}}d\vartheta ={\frac {a^{\frac {3}{2}}(1-\epsilon ^{2})^{\frac {3}{2}}}{\mu ^{\frac {1}{2}}(1+\epsilon \cos \alpha )^{2}}}(d\alpha +d\omega )$.

Durch passende Ordnung und Division ergiebt sich

$d\omega ={\frac {{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )\cos ^{2}\alpha -{\frac {3\epsilon \mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }{1+{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )-{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )\cos ^{2}\alpha +{\frac {3\epsilon \mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }}d\alpha$.

Dividiert man Zähler und Nenner durch

${\frac {3\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}={\frac {\gamma }{c^{2}}}$,

ordnet man nach steigenden Potenzen von cos α, und setzt man zur Abkürzung

$-\epsilon \ \cos \alpha +2\ \cos ^{2}\alpha +3\epsilon \ \cos ^{3}\alpha =v$, $3\epsilon \ \cos \alpha -2\ \cos ^{2}\alpha -3\epsilon \ \cos ^{3}\alpha =w$,

so wird

$d\omega ={\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2+w}}d\alpha$.

Angenähert erhält man

$d\omega =\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha$.

Für die Perihelbewegung ψ während eines Umlaufes ergiebt sich daher

$\psi ={\overset {2\pi }{\underset {0}{\int }}}\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha$

oder, weil

$vw=-3\epsilon ^{2}\ \cos ^{2}\alpha +8\epsilon \ \cos ^{3}\alpha +4(3\epsilon ^{2}-1)\ \cos ^{4}\alpha -12\epsilon \ \cos ^{5}\alpha$ $-9\epsilon ^{2}\ \cos ^{6}\alpha$,

$\psi ={\frac {2\pi }{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}+{\frac {3\pi (8-\epsilon ^{2})}{8\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}$.

Daraus folgt

${\frac {c^{2}}{\gamma }}+2={\frac {\pi }{\psi }}+{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{\psi ^{2}}}+{\frac {3\pi (8-\epsilon ^{2})}{8\psi }}}}$

Beachtet man, dass ψ sehr klein ist, so sieht man, dass das zweite Glied unter der Wurzel gegen das erste verschwindet. Der für dω gewählte Näherungsausdruck ist danach noch zu genau, d. h. w hätte von vornherein vernachlässigt werden dürfen. Mithin wird

Empfohlene Zitierweise:
Paul Gerber: Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation. B.G. Teubner, Leipzig 1898, Seite 102. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Die_r%C3%A4umliche_und_zeitliche_Ausbreitung_der_Gravitation.djvu/10&oldid=- (Version vom 31.7.2018)